APRENDEMOS LOS DECIMALES!

Los números decimales pueden escribirse de dos formas: como fracción o con decimales. Las fracciones cuyo denominador es la unidad seguida de ceros se denominan fracciones decimales, y la operación de dividir entre los números que forman la fracción, dará origen a los números decimales.
 
Clasificación de los números atendiendo a su parte decimal

1. Números enteros: Carecen de parte decimal, por ejemplo, 1, 8, -3, 9

2. Números decimales exactos: 
    Tienen un número finito de cifras decimales, ejemplo 2,33   5,6789

3. Numeros decimales periódicos: 
Tienen infinitas cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que se repiten se les llama periodo,como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca un arco sobre las cifras que forma el periodo, ésto indica que hay infinitas cifras que se repiten según el perido fijado.

Los números periódicos se subdividen a su vez en:

a)Periódicos puros: Todas la cifras decimales forman parte del periodo

        

b)Periódico mixto: Hay cifras en la parte decimal que no forman parte del periodo

          

4. Números decimales no periódicos:

    Tienen infinitas cifras decimales que no siguen una pauta, es el caso de números como: π ≈ 3,1415926

SUMAS

Para sumar números decimales hay que colocar la parte entera de uno de los números debajo de la parte entera del otro número y lo mismo con las decimales. Veamos un ejemplo:                       
 Sumemos 34,25 + 245,687=                                                                                 

                                                                        +   3  4,  2 5

                                                                          2 4  5,  6 8 7

                                                                          2  7 9,  9 3 7    

  RESTAS

Para restar números decimales hemos de colocarlos como lo hicimos para la suma. Vamos a ver un ejemplo.

Restemos 245,27 - 38,174 =           

                                                           _ 2  4  5,  2 7     

                                                                            3  8,  1 7 4 

Nos encontramos un problema y es que en la cifra de las centésimas del minuendo no hay nada, pero no importa porque 27 centésimas es lo mismo que 270 milésimas por lo que podemos poner el 0 en las milésimas y ahora quedará:

        

                                                             2  4  5,  2 7 0     

                                                              -  3  8, 1 7 4

                                                             2  0  7,  0 9 6                     

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar solo tienes que multiplicar normalmente,ignorando las comas de los decimales y despues poner la coma decimal en la respuesta pero tiene que haber tantas cifras decimales como había en los dos números juntos.Veamos un ejemplo:

              Multiplica 0,03 por 1,1:

Empieza por:		0,03 × 1,1
multiplica sin puntos decimales:		3 × 11 = 33
0,03 tiene 2 cifras decimales, y 1,1 tiene 1 cifra decimal, así que la respuesta tiene 3 cifras decimales:		0,033

DIVISIÓN

Pasos para realizar una división con decimales en el dividendo:

Hay varios casos:

1º Que la parte entera del dividendo sea más grande que el divisor:

        

 ej.  34,2  : 5

3  4, 2   :    5     

Vamos a dividir normal ,pero como verás al llegar a bajar el número 2 nos encontramos con  que son décimas por lo que en el cociente también lo serán, por eso se pone la coma.

                         C = 6,8     Como puedes observar son 6 unidades, 8 décimas

3  4, 2   / 5                         R = 0,2     Como verás el resto son 0 unidades, 2 décimas.

 0 4 2    6, 8

      2

            

2º  Que la parte entera del dividendo sea más pequeña que el divisor:

       ej.:  2,73 : 3

2, 73  : 3  Como puedes ver 2 no se puede dividir entre 3 porque es más pequeño y el 7 no es parte entera  y no se puede bajar antes de dividir la parte entera por lo que cabrá a 0 y ya podemos coger el 7 poniendo la coma en el cociente puesto que ya tenemos décimas.

                                 Cociente =  0,91

2, 7 3 / 3                                      

2  7      0, 91                   Resto =    0

    0 3

        0                         

Si el resto hubiese sido distinto de 0  ¿Cómo se pondría? Vamos a verlo en otra división

4,27 : 6                  

                               4,2 7 /   6            El cociente será 6 unidades y el resto 0,01

                                42      0, 7 1      Si haces la prueba te darás cuenta de que

                                   07                   sale perfecto.

                                     1                     

Una vez que lo hayas comprendido y estudiado prueba a hacer las mismas cuentas tu solo /a en tu cuaderno y ponte otros ejercicios.

DIVISIÓN CON DECIMALES EN EL DIVISOR

No podemos dividir entre un número decimal. Para poder hacerlo hemos  de transformar previamente el divisor en un nº natural

Dependiendo del número de decimales que tenga el divisor le multiplicaremos:

Por 10 si tiene un decimal, por 100 si tiene dos, por 1000 si tiene tres y así sucesivamente.

Pero si multiplicamos el divisor por un número hemos de hacer lo mismo con el dividendo para que la división siga siendo la misma.

Una vez hecho esto ya tenemos preparada la división para poder realizarla.

Ejemplo:           2435: 2,42               

1º Transformemos el divisor en un número natural, como tiene dos decimales lo multiplicamos por 100 y queda:

                                                              2,42·100 = 242

2º Multiplicamos el dividendo también por 100 y queda:

                                                              2435 ·100 = 243500

Así la división se ha transformado en la siguiente:

                                      243500 : 242

Efectuemos la división y comprobemos que  se cumple la propiedad fundamental de la división:

                                      243500  / 242

                                      001500  1006

                                             048

Comprobación: D  =  d  x  c  +  resto

                                       242  divisor

                               x   1006  cociente

                                    1452

                                 24200

                                243452

                               +       48  resto

                                243500  dividendo

DIVISIÓN CON DECIMALES EN EL DIVIDENDO Y EN EL DIVISOR

1.     Hay que quitar los decimales del divisor multiplicando por la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya.

2.     Se multiplica el dividendo por el mismo número que hayamos multiplicado el divisor para que la división no varíe.

Ejemplo.1

345,2 : 23,41

1.      Multiplicamos el divisor por 100 porque tiene dos decimales

23,41 x 100 = 2341

2.      Multiplicamos el dividendo también por 100 

345,2 x 100 = 34520

3.      Dividimos normalmente como hemos aprendido en casos anteriores.

  

34520  /   2341

Ejemplo 2

2,35 : 2,5

            2,5 x 10 = 25

            2,35 x 10 = 23,5

            23,5 /     25

     1 0 0    0,94

       0 0              Cociente = 0,94

                                                                             Resto = 0

APRENDEMOS FRACIONES!

Fracciones

Una fracción es una parte del total y esta dividida en  numerador y denominador, siempre el numerador nos indica  cuantas partes hay, y el denominador en cuántos trozos esta dividido.

ejemplo: 
   

1/2	1/4	3/8
(Una mitad)	(Un cuarto)	(Tres octavos)
El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.

 

Fracciones equivalentes

Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo:

	4/8	=	2/4	=	1/2
	(Cuatro octavos)		(Dos cuartos)		(Una mitad o un medio)

Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (¹/₂ en este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción.Para simplificar o reducir  solo tienes que dividir el numerador o denominador por el mismo número y para poner una fracción equivalente mas grande solo tienes que multiplicar el numerador y el denomidador por el mismo numero:

         ejemplo: 2/3.Multiplicamos numerador y denominador por 7.El resultado es:14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes.

2	14
---- =	----
3	21

¿Cómo comprobamos que son equivalentes? . Pues muy facil solo tenemos que multiplicar en cruz y el resultado tiene que coincidir. Comprobamos: 2x21 = 42 = 3x14

Sumar Fracciones Con Mismo Denominador

puedes sumar fracciones fácilmente si el numero de abajo (denominador) es el mismo:

	1/4 + 1/4 = 2/4 se puede reducir la fracción 1/2 (Un cuarto) (Un cuarto) (Dos cuartos) (Una mitad)  = Otro ejemplo: 5/8 + 1/8 = 6/8 se puede reducir la fracción 3/4 =

Restar Fracciones Con Mismo Denominador

Puedes restar fracciones muy fácilmente si estos tienen el mismo numero debajo (denominador):

5/8 - 1/8 = 4/8 se puede  reducir  la  fracción 2/4  =

PRACTICA!

                                            PRACTICA CON ESTOS EJERCICIOS

                                                                   SUMAS

Sumar dos números de 3 dígitos en columna-sin llevar

Sumar dos números de 3 dígitos en columna 

Sumar números de 3 dígitos,3 sumandos

Sumar números de 3 dígitos,4 sumandos

                                                                RESTAS
Restas básicas

Restas hasta 25 (sin tomar prestado )

Restas hasta 25 ( tomando prestando)

Restas dificiles
   
                                                       MULTIPLICACIONES
Multiplicaciones básicas

Multiplicaciones intermedias

Multiplicaciones dificiles

                                                              DIVISIONES
Divisiones básicas

Divisiones intermedias

Divisiones dificiles
                                                              FRACCIONES

Ejercicios de fracciones

                                                               DECIMALES
Ejercicios de decimales

APRENDEMOS A DIVIDIR!

La división es una operación matemática, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Consiste en averiguar cuántas veces un número (36) contiene a otro número (9). Su representación es 36 : 9 = 4. El primer número (36) se llama Dividendo, el segundo (9) Divisor y el resultado obtenido (4) se denomina Cociente.




Para comprobar que la división está bien hecha, multiplicamos el cociente por el divisor y nos tiene que dar el dividendo: (4 x 9 = 36).

							9 x 4 _______ 3 6
							Si la división no es exacta, es decir, el dividendo no contiene un número exacto de veces al divisor, la operación tendrá un resto o residuo, y entonces se ha de cumplir que Cociente x Divisor + Resto = Dividendo Para dividir dos números colocamos a la izquierda el dividendo y en la misma línea, dejando un espacio, el divisor dentro de lo que llamamos "caja de la división". Después iremos haciendo sucesivas divisiones parciales que colocaremos escalonadamente debajo del dividendo.

 

Ejercicios

APRENDEMOS A MULTIPLICAR!

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número.

Así, 3 x 4, indica que tenemos que sumar 3, 4 veces, es decir, 3 + 3 + 3 + 3.
Comprobamos que el resultado es el mismo:   3 x 4 = 12    y    3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Los términos de la multiplicación se llaman factores y el resultado de la misma se llama producto.

Cuando la multiplicación tiene sólo dos factores, llamamos multiplicando al número que vamos a sumar y multiplicador a las veces que lo vamos a sumar.
En nuestro ejemplo el multiplicando es 3, el multiplicador es 4, y el producto es 12, que es el resultado de sumar   3 + 3 + 3 + 3    o multiplicar   3 x 4.

Para multiplicar dos números de varias cifras colocamos el multiplicando y debajo el multiplicador, trazando una raya por debajo de ambos. Comenzamos a multiplicar, de derecha a izquierda, la primera cifra del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y vamos colocando las unidades de cada producto debajo de la raya, también de derecha a izquierda, y las decenas se las sumamos al siguiente producto. (Como verás en el ejemplo, el primer producto es 6 x 3 = 18, colocamos el 8 y nos llevamos una que se la sumamos al siguiente producto 3 x 5 = 15 + 1 = 16).

							6
				x			3
__________
						1	8

Después, hacemos lo mismo con cada una de las restantes cifras del multiplicador (decenas, centenas ...) y las vamos colocando debajo de la fila anterior, desplazadas un lugar a la izquierda.

Cuando terminemos de multiplicar la última cifra del multiplicador por todas las del multiplicando, trazamos una raya debajo de la última fila (tendremos tantas filas como cifras tenga el multiplicador) y procederemos a sumar ordenadamente todas las filas. El resultado obtenido será el producto de la multiplicación.

Por ejemplo vamos a multiplicas por tres cifras :

				3	2	5	6
				x	4	2	3
__________
				9	7	6	8
			6	5	1	2
+	1	3	0	2	4
__________________
	1	3	7	7	2	8	8

                                                                          
                                                                    PASO A PASO 

1. 3 x 6 = 18, Colocamos el 8 y nos llevamos 1 , que sumaremos al siguiente producto.
2. 3 x 5 = 15, 15 + 1 (que nos llevábamos) = 16, Colocamos el 6 y nos llevamos 1 , que sumaremos al siguiente producto.
3. 3 x 2 = 6, 6 + 1 (que nos llevábamos) = 7, Colocamos el 7 (Como 7 es menor que 10 ahora no nos llevamos ninguna).
4. 3 x 3 = 9, Como no nos llevábamos ninguna colocamos el 9.

Hemos terminado de multiplicar 3 x 3256, ahora seguiremos con el 2.


5. 2 x 6 = 12, Colocamos el 2 y nos llevamos 1 , que sumaremos al siguiente producto.
6. 2 x 5 = 10, 10 + 1 (que nos llevábamos) = 11, Colocamos el 1 y nos llevamos 1 , que sumaremos al siguiente producto.
7. 2 x 2 = 4, 4 + 1 (que nos llevábamos) = 5, Colocamos el 5 (Como 5 es menor que 10 ahora no nos llevamos ninguna).
8. 2 x 3 = 6, Como no nos llevábamos ninguna colocamos el 6.

Hemos terminado de multiplicar 2 x 3256, ahora seguiremos con el 4.


9. 4 x 6 = 24, Colocamos el 4 y nos llevamos 2 , que sumaremos al siguiente producto.
10. 4 x 5 = 20, 20 + 2 (que nos llevábamos) = 22, Colocamos el 2 y nos llevamos 2 , que sumaremos al siguiente producto.
11. 4 x 2 = 8, 8 + 2 (que nos llevábamos) = 10, Colocamos el 0 y nos llevamos 1 , que sumaremos al siguiente producto.
12. 4 x 3 = 12, 12 + 1 (que nos llevábamos) = 13, Como ya no tenemos más cifras colocamos el 13.

Hemos terminado de multiplicar 4 x 3256, y el multiplicador (423) no tiene más cifras. Como el multiplicando tiene 4 cifras (3256) y el multiplicador 3 (423), la multiplicación se hace en 12 pasos (4 x 3 = 12).

Ahora sólo nos queda ir sumando cada columna.

• la primera sólo tiene el 8, así que colocamos el 8 abajo.
• la segunda columna 6 + 2 = 8 , así que colocamos otro 8 abajo.
• la tercera columna 7 + 1 + 4 = 12 , así que colocamos el 2 abajo(y nos llevaremos 1).
• la cuarta columna 9 + 5 + 2 = 16 , 16 + 1 (que nos llevábamos) = 17, Colocamos el 7 abajo(y nos llevaremos 1).
• la quinta columna 6 + 0 = 6 , 6 + 1 (que nos llevábamos) = 7, Colocamos el 7 abajo(y NO nos llevaremos nada).
• la sexta columna sólo tiene un 3, así que colocamos el 3 abajo.
• la séptima columna sólo tiene un 1, así que colocamos el 1 abajo.
Y ya hemos terminado. 3.256 x 423 = 1 .377 . 288 
Para aprender a Multiplicar es necesario saberse las Tablas de Memoria:

APRENDEMOS A RESTAR!

La resta  es otra de las cuatro operaciones fundamentales . Es la operación inversa de la suma.

Consiste en  dada una cantidad (16) eliminar una parte de ella (5). Si de (16) eliminamos (5), nos quedan (11).

La representación de la operación de restar es:

				1	6
			-		5
____________
				1	1

  El primer número (16) se llama minuendo, el segundo (5) sustraendo y el resultado obtenido (11) se denomina diferencia.

Para comprobar que la resta está bien hecha, sumamos la diferencia con el sustraendo y nos tiene que dar el minuendo: (11 + 5 = 16). 

				1	1
			+		5
____________
				1	6

Para restar dos números se coloca el minuendo y debajo el sustraendo, de manera que coincidan las unidades, las decenas, las centenas etc... Trazamos una raya debajo del sustraendo y procedemos a restar ordenadamente todas las columnas, empezando por las unidades, después las decenas y así sucesivamente hasta que lleguemos a la última columna.

 

                                                                   PASO A PASO 

 Veamos un ejemplo: 83.957 - 48.673

		8	3	9	5	7
-		4	8	6	7	3
______________
		3	5	2	8	4

1. 7 - 3 = 4, Colocamos el 4 debajo de las unidades.
2. 5 - 7 ; como 5 es menor que 7, entonces a 5 le sumamos 10 (una unidad de la columna siguiente, centenas en este caso, que valen 10 decenas), y nos queda 15 - 7 = 8. Colocamos el 8 debajo de las decenas y nos llevamos 1 que sumaremos al sustraendo de la columna siguiente.
3. 9 - 6 , pero como nos llevabamos 1 (6+1=7) será 9 - 7 = 2 . Colocamos el 2 debajo de las centenas.
4. 3 - 8 ; como 3 es menor que 8, entonces a 3 le sumamos 10 (una unidad de la columna siguiente, unidades de mil en este caso, que valen 10 centenas), y nos queda 13 - 8 = 5. Colocamos el 5 debajo de las unidades de mil y nos llevamos 1 que sumaremos al sustraendo de la columna siguiente.
5. 8 - 4 , pero como nos llevabamos 1 (4+1=5) será 8 - 5 = 3 . Colocamos el 3 debajo de las decenas de mil.
Y ya hemos terminado: 83.957 - 48.673 = 35.284.


Ahora, comprobamos que la operación está bien hecha:
35.284 + 48.673 = 83.957  

APRENDEMOS A SUMAR!

                                             


La operación de sumar es la primera de las operación fundamentales de la aritmética. Se representa con el símbolo " + " .

Los números que vamos añadiendo se llaman sumandos y el resultado obtenido se denomina suma o total.

  La operación de sumar es la primera de las operación fundamentales de la aritmética. Se representa con el símbolo " + " .
Consiste en dado un número añadir (adicionar) el valor de otros. Por eso esta operación se llama también Adición.
Los números que vamos añadiendo se llaman sumandos y el resultado obtenido se denomina suma o total.

Para sumar varios números se van colocando cada uno de ellos (sumandos) debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, las decenas, las centenas etc... Trazamos una raya debajo del último sumando y procedemos a sumar ordenadamente todas las columnas, empezando por las unidades, después las decenas y así sucesivamente hasta que lleguemos a la última columna.


Empecemos con algo facil : 20 + 15

				2	0
			+	1	5
____________
				3	5

Más dificil :  82+53+14

			82
			53
	+		14
________________
			149

                                                             
                                                                 PASO A  PASO 

Veamos un ejemplo: 7.653 + 3.782 + 9.214

		7	6	5	3
		3	7	8	2
	+	9	2	1	4
________________
	2	0	6	4	9

1. 3 + 2 + 4 = 9, Colocamos el 9 debajo de las unidades.
2. 5 + 8 + 1 = 14, Colocamos el 4 debajo de las decenas y nos "guardamos" (llevamos) 1 que añadiremos a la siguiente suma.
3. 6 + 7 + 2 = 15, 15 + 1 (que nos llevábamos) = 16. Colocamos el 6 debajo de las centenas y nos llevamos 1 que añadiremos a la siguiente suma.
4. 7 + 3 + 9 = 19, 19 + 1 (que nos llevábamos) = 20. Como ya no tenemos más columnas que sumar, colocamos el 20.
Y ya hemos terminado: 7.653 + 3.782 + 9.214 = 20.649